Filosofía II: Cálculo proposicional

                       El cálculo proposicional es también llamado, lógica proposicional, calculo sentencial, álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos lógicos.
La Lógica Matemática surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica del razonamiento matemático humano (y actualmente también de otras formas de razonamiento.) Requiere de expresar la lógica en términos susceptibles de ser representados y manejados por un computador.

La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.

Proposiciones
Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.
Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.

Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.
Proposiciones simples o hechos
Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:

1. El cielo es azul
2. La nieve es fría
3. 12*12=144
4. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana
5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945

Las siguientes proposiciones simples son falsas:

1. Honda hace televisiones
2. El General Fidel Castro es un Demócrata
3. 8+99=231
4. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis
5. Atenas es la capital de Italia

Las siguientes son proposiciones no validas:

1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.
2. Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque "Esta" no esta definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.
3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.
4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.
5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una ética, idea religiosa o dogma. No es una proposición.
6. ¿Por que el Soccer no es más popular que el Básquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente hace una pregunta.
7. 12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.
8. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposición. Esta sentencia expresa una opinión; es subjetivo.

Proposiciones compuestas
Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.

Operaciones sobre las proposiciones

Algunos autores por ejemplo agrupan los conectores que se utilizan sobre las proposiciones, en el calculo proposicional en dos agrupaciones (como la que se muestra en seguida), aunque normalmente otros los clasifican según su importancia:
Conectivos agrupados según Balancing Bird © 199 G. Benton

Monódico: envuelve solamente una expresión de la declaración
La negación, simbolizada por "¬" y significa no es verdad.

Diádico: envuelve dos proposiciones.
El conector AND es simbolizado por "^" y significa "y"
El conector OR es simbolizado por "v" y significa "o"
La condición es simbolizado por "® " y se lee "Sí... entonces"
Bicondicional es simbolizado por "« " y se lee "Sí y solo sí"
Reuniendo todos los conectivos en una tabla según su importancia, quedaría como se muestra en la figura No. 1:

Nombre	Simbología	Significado
Negación	Ø ,- ,~	No
Conjunción	Ù ,·	Y
Disyunción	Ú	O
Condicional	® ,É	Sí...Entonces
Bicondicional	« ,º	Sí y solo sí

 1 Conectores lógicos

La proposición lógica hace más fácil y efectiva la manipulación de valores de verdad entre proposiciones. Las tablas de verdad muestran los principales valores de verdad de diferentes grupos de proposiciones conectados por operadores. Los valores de verdad de una proposición compuesta dependen en los valores de verdad de estos componentes (p, q, r, s...) y de la función del conector. Asignando símbolos a proposiciones y conectores, expresando relaciones entre declaraciones dentro de una tabla de verdad donde los valores de verdad son mas fácilmente reconocidos, tan bien como formalizados.
Breve explicación de los conectores
Negación
La negación es la inversa de los valores de verdad de una declaración como se muestra en la figura 2:

p	Ø p
V	F
F	V

 2 Negación

Ejemplos

1. Algunas personas tienen miedo a morir (p)
2. Algunas personas no tienen miedo a morir (Ø p)

Lo que se considera en este caso es solo negar la proposición original, utilizando la negación de la proposición.
Conjunción
Cuando conjugamos dos declaraciones, tiene el sentido de afirmar que son simultáneamente verdaderas. Por ejemplo, al decir que "Londres es la capital de Inglaterra y Cuba es una isla,". El conector funciona indicando que las dos proposiciones conjuntadas son verdaderas, de modo que si p es la proposición "Londres es capital de Inglaterra" y q es la proposición "Cuba es una isla", la conjunción de ambas proposiciones se representará de la siguiente manera:

Asignación de valores	proposición
p = Londres es capital de Inglaterra q = Cuba es una isla	pÙ q (y se lee "p y q")
Londres es capital de Inglaterra y Cuba es una isla

Considerando que la conjunción de dos proposiciones cualquiera indica la verdad simultanea de ambas, la proposición compuesta resultante es verdadera si efectivamente ambas son verdaderas. En otro caso la proposición resultante es falsa. Resumiendo todo esto en una tabla de verdad como se muestra en la Figura 3.

p	q	pÙ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

 3 Conjunción

Disyunción
La disyunción tiene la función de enlazar dos proposiciones, indicando que al menos una de ellas es verdadera (aunque pueden serlo ambas también); supongamos el siguiente ejemplo, si p es la proposición "3 es un número primo" y q es la proposición "3 es un número natural". La proposición compuesta indica que cuando menos una de las proposiciones simples es verdadera.
En general, dada una proposición compuesta cuya conectiva es una disyunción, será verdadera si al menos una de las alternativas es verdadera (y por supuesto cuando las dos lo sean). Será falsa sólo cuando las dos alternativas sean falsas. En la figura No. 4 veremos como quedaría el ejemplo asignándole variables a las proposiciones simples, así como, Checaremos y revisemos la explicación anterior.

Asignación de valores	proposición
p = 3 es un número primo q = 3 es un número natural	pÚ q (y se lee " p ó q")
3 es un número primo o 3 es un número natural

p	q	pÚ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

 4 Disyunción

Condicional
Al relacionarse dos proposiciones con este conector es muy importante distinguir la que queda a la izquierda (a la que se le llama antecedente), de la que queda a la derecha (que se llama consecuente).
El sentido de este conector es señalar, que si la proposición antecedente es verdadera, también lo es la proposición consecuente; es decir, basta o es suficiente que el antecedente sea verdadera, para que el consecuente también sea verdadero. De aquí que una proposición compuesta en la que el conector es condicional, será falsa si siendo verdadero el antecedente, es falso el consecuente. La proposición será verdadera en los demás casos, en los que no ocurre que el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
Ejemplo. Sí p es la proposición "Marte es un planeta", en tanto que q es la proposición "Marte brilla con luz propia".

Asignación de valores	proposición
p = Marte es un planeta q = Marte brilla con luz propia	p® q (y se lee " Si p, entonces q")
Si Marte es un planeta entonces Marte brilla con luz propia

Considérese la tabla de verdad de la figura No. 5

p	q	p® q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

 5 Condicional

Bicondicional
Esta expresión es un conector lógico que al relacionar dos proposiciones indica que el valor de verdad de ambas es el mismo, ya sea verdadero o falso. Así, p« q es una proposición que significa que si p es verdadera, entonces q también es verdadera y si q es verdadera, entonces p también es verdadera. En realidad la conectiva Bicondicional es la conjunción (Ù ) de dos proposiciones condiciones (si...entonces). es decir, la proposición p« q tiene el mismo sentido que la proposición (p® q)Ù (p® q)
Consideremos el siguiente ejemplo: asignémosle valores a las variables que estamos utilizando. De esta manera si p toma la proposición de "Febrero tiene 29 días" y q es "El año es bisiesto".

Asignación de valores	proposición
p = Febrero tiene 29 días q = El año es bisiesto	p® q (y se lee " Sí y solo sí q")
Febrero tiene 29 días si y solo si el año es bisiesto

Ahora cheque su tabla de verdad, como se muestra en la figura No. 6.

p	q	p« q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

 6 Bicondicional

En este conector la regla a utilizar es la siguiente, la proposición es verdadera siempre y cuando las dos proposiciones sean verdaderas o falsas.
Tablas de verdad
En este caso explicaremos con mas detalles como se construye una tabla de verdad, en este caso con 3 variables.

1. Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado.
2. Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula , siendo "n" el número de variables. En este caso = , o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazando pues ocho renglones.
3. Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el número de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces F.
4. Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que esté fuera de todo paréntesis.
5. Ejemplo: (pÙ q)Ú (r® q)

p	q	r	(pÙ q)Ú (r® q)
V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V
V	F	V	F	F	F
V	F	F	F	V	V
F	V	V	F	V	V
F	V	F	F	V	V
F	F	V	F	F	F
F	F	F	F	V	V

 7 Ejemplo de construcción de tablas de verdad.

 Tautología, contradicción e incongruencia
Tautología
Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposición tautológica o tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples. Véase la figura No. 8

p	q	Ø p	Ø pÚ p
V	V	F	V
V	F	F	V
F	V	V	V
F	F	V	V

8 Tautología

Contradicción
Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples.
Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición, al negar una tautología obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una contradicción obtenemos una tautología. Véase el ejemplo de la figura No. 9.

p	q	Ø p	Ø pÙ p
V	V	F	F
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	F

 9 Contradicción

Incongruencia
Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples. Considérese el ejemplo de la figura No. 10.

P	q	p® q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

 10 Incongruencia

2.4. Leyes principales de la lógica de proposiciones
Existen varias equivalencias lógicas proposicionales parecidas a las del Álgebra Booleana, las cuales se muestran en la figura No. 11.

Denominación	Representación lógica
Leyes equipotenciales	PÚ PÛ P	PÙ PÛ P
Leyes asociativas	(PÚ Q)Ú RÛ PÚ (QÚ R)	(PÙ Q)Ù RÛ PÙ (QÙ R)
Leyes conmutativas	PÚ QÛ QÚ P	PÙ QÛ QÙ P
Leyes distributivas	PÚ (QÙ R)Û (PÚ Q)Ù (PÚ R) PÚ FÛ P PÚ TÛ T PÚ Ø PÛ T	PÙ (QÚ R)Û (PÙ Q)Ú (PÙ R) PÙ TÛ P PÙ FÛ F PÙ Ø PÛ F
Leyes de absorción	PÚ (PÙ Q)Û P	PÙ (PÚ Q)Û P
Leyes de identidad	(PÚ F)Û P (PÚ T)Û T	(PÙ F)Û F (PÙ T)Û P
Leyes complementarias	(PÚ Ø P)Û T	Ø Ø PÛ P (PÙ Ø P)Û F
Leyes de Morgan	Ø (PÚ Q)Û Ø PÙ Ø Q	Ø (PÙ Q)Û Ø PÚ Ø Q
Leyes condicionales	(P® Q)Û (Ø PÚ Q)	(P® Q)Û (Ø Q® Ø P)
Leyes bicondicionales	(P« Q)Û ((P® Q)Ù (Q® P))	(P« Q)Û ((Ø PÙ Ø Q)Ú (PÙ Q))

11 Equivalencias lógicas proposicionales

Ejemplo

1. (p® (Ø qÚ p))
2. (Ø pÚ (Ø qÚ p)) Ley condicional i
3. ((Ø qÚ p)Ú Ø p) Ley conmutativa i
4. (Ø qÚ (pÚ Ø p)) Ley asociativa i
5. (Ø qÚ T) Ley complementaria i
6. T Ley de identidad

2.5. Implicaciones lógicas

PÙ QÞ P (01)

PÙ QÞ Q (02)

PÞ PÚ Q (03)

Ø PÞ P® Q (04)

QÞ P® Q (05)

Ø (P® Q)Þ P (06)

Ø (P® Q)Þ Ø Q (07)

PÙ (P® Q)Þ Q (08)

Ø QÙ (P® Q)Þ Ø P (09)

Ø PÙ (PÚ Q)Þ Q (10)

(P® Q)Ù (Q® R)Þ P® R (11)

(PÚ Q)Ù (P® R)Ù (Q® R)Þ R (12)

2.6. Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia usa dos tipos de elementos: los datos (hechos o evidencia) y el conocimiento (el conjunto de reglas almacenadas en la base de conocimiento), para obtener nuevas conclusiones o hechos. Por ejemplo, si la premisa de una regla es cierta. Los datos iniciales se incrementan incorporando las nuevas conclusiones. Por ello, tanto los hechos iniciales o datos de partida como las conclusiones derivadas de ellos forman parte de los hechos o datos de que se dispone en un instante dado.
Las conclusiones pueden clasificarse en dos tipos: simples o compuestas. Las conclusiones simples son las que resultan de una regla. Las conclusiones compuestas son las que resultan de más de una regla. Para obtener conclusiones, los expertos utilizan diferentes tipos de reglas y estrategias de inferencia y control.
Tipos de reglas de inferencia

• Modus Ponens
• Modus Tollens
• Mecanismo de Resolución

Modus Ponens
Es quizás la regla de inferencia más comúnmente utilizada. Se utiliza para obtener conclusiones simples. En ella, se examina la premisa de la regla, y si es cierta, la conclusión pasa a formar parte del conocimiento. Considere el siguiente ejemplo, supóngase que se tiene la regla, "Si A es cierto, entonces B es cierto" y que se sabe además que "A es cierto". Entonces la regla Modus Ponens concluye que "B es cierto". Esta regla de inferencia, que parece trivial, debido a su familiaridad, es la base de un número de sistemas expertos.
Ejemplo:

1. p® q ½ ¾
2. p
3. q

Modus Tollens
Se utiliza también para obtener conclusiones simples. En este caso se examina la conclusión y si es falsa se concluye que la premisa también es falsa. Por ejemplo, supóngase de nuevo que se tiene la regla "A es cierto, entonces B es cierto" pero se sabe que "B es falso". Entonces, utilizando la regla Modus Ponens no se puede obtener ninguna conclusión, pero, la regla Modus Tollens concluye que "A es falso". Auque muy simple y con muchas aplicaciones útiles, la regla Modus Tollens es menos utilizada que la Modus Ponens.
Por ello, la regla Modus Ponens se mueve hacia delante, es decir, de la premisa a la conclusión de una regla, mientras que la regla Modus Tollens se mueve hacia atrás, es decir, de la conclusión a la premisa. Las dos reglas de inferencia no deben ser vistas como alternativas sino como complementarias. La regla Modus Ponens necesita información de los objetos de la premisa para concluir, mientras que la regla Modus Tollens necesita información sobre los objetos de la conclusión. De hecho, para un motor de inferencia que solamente utiliza Modus Ponens, la incorporación de la regla de inferencia Modus Tollens puede ser considerada como una expansión de la base de conocimiento mediante la adición de reglas.
Ejemplo:

1. p® q ½ ¾
2. Ø q
3. Ø p

Mecanismo de resolución
Las reglas de inferencia Modus Ponens y Modus Tollens pueden ser utilizadas para obtener conclusiones simples. Por otra parte, las conclusiones compuestas, que se basan en dos o más reglas, se obtienen usando el llamado mecanismo de resolución. Esta regla de inferencia consiste en las etapas siguientes:

1. Las Reglas son sustituidas por expresiones lógicas equivalentes.
2. Estas expresiones lógicas se combinan en otra expresión lógica.
3. Esta última expresión se utiliza para obtener la conclusión.

Estas etapas involucran conceptos tales como la combinación y simplificación de expresiones lógicas, que se ilustra de modo intuitivo en el siguiente ejemplo.
Supóngase que se tienen las dos reglas:
Regla 1: Si A es cierto, entonces B es cierto
Regla 2: Si B es cierto, entonces C es cierto
La primera etapa en el mecanismo de resolución consiste en sustituir cada una de las dos reglas por expresiones lógicas equivalentes. Esto se hace como sigue:

• La Regla 1 es equivalente a la expresión lógica: "A es falso o B es cierto". Una prueba de esta equivalencia se muestra en la tabla de verdad que se muestra en la figura No. 12.
• Similarmente, la Regla 2 es equivalente a la expresión lógica: "B es falso o C es cierto".

A	B	Ā	Si A, entonces B	Ā o B
V	V	F	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	F	V

Figura No. 12 Tabla de verdad mostrando que la regla "Si A es cierto, entonces B es cierto" es equivalente a la expresión lógica "A es falso o B es cierto"

La segunda etapa consiste en combinar las dos expresiones anteriores en una, tal como sigue: las expresiones lógicas "A es falso o B es cierto y "B es falso o C es cierto" implican la expresión "A es falso o C es cierto". Una prueba de esta equivalencia se muestra en la figura No. 13. Esta última expresión se utiliza seguidamente en la tercera etapa para obtener la conclusión.

A	B	C	Ā o B	o C	(Ā o B) y ( o C)	Ā o C
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F
V	F	V	F	V	F	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V

Tabla de verdad que muestra que las expresiones lógicas "A es falso o B es cierto" y "B es falso o C es cierto" implican la expresión "A es falso o C es cierto".

2.7. Demostración usando tablas de verdad
Un argumento es válido si las premisas en su conjunto implican lógicamente la conclusión. Por lo tanto, si denotan las premisas y si C denota la conclusión, se debe tener

|=C

Como se demostró previamente, esto se puede demostrar mediante el método de la tabla de verdad, mostrando que la siguiente expresión es una tautología.